persamaan gerak

    

1.1        PERSAMAAN GERAK

Seperti kita ketahui, suatu benda dikatakan bergerak jika posisi benda tersebut berubah terhadap suatu titik acuan. Untuk mempermudah mempelajari konsep gerak suatu benda, maka gerakan benda tersebutdinyatakan dalam suatu persamaan matematika yang disebut persamaan gerak.

1.1.1        Posisi

Untuk menggambarkan gerak suatu benda dalam bidang atau dalam ruang, terlebih dahulu kita mengetahui posisi benda tersebut, posisi suatu benda akan kita nyatakan dalam bentuk vektor.

a.      Vektor Satuan

Vektor satuan adalah suatu vektor yang besarnya satu satuan.apabila kita memiliki vektor A yang besarnya A = ׀A׀, maka vektor satuan yang searah dengan vektor  A adalah vektor a dan dirumuskan sebagai berikut.

a =

dalam vektor-vektor satuan i,j, dan k. sebagai contoh, vektor A pada gambar

1.1  dapat dinyatakan sebagai berikut.

A    = A_x + A_y

                   = A_x i + A_y j

       = A cos α i + A sin α j

   y

A_y                                                                A

A_y = A_y j

 j

 

              α

                               i                              A_x                       x

                                     A_x = A_xi

b.      Vektor posisi

Vektor posisi adalah suatu vektor yang menyatakan posisi dari suatu titik. Pada gambar 1.3 titik P memiliki koordinat P(x,y,z), maka vektor posisi titk P relatif terhadap pusat koordinat didefinisikan sebagai

R = OP = xi + yj + zk

dan besarnya vektor r yaitu:

r = |r| = ²

       y

       Y

                                             P(x,y,z)

                        r

        j

                   i                                    x

      O                                                                  x

        k

z

Apabila  memiliki titik lain, yaitu Q yang memiliki koordinat Q(x_Q,y_Q,z_Q), maka vektor posisi Q relatif  terhadap titik P yang bukan merupakan pusat koordinat dan memiliki koordinat P (x_p,y_p,z_p).

r_PQ = PQ = OQ – OP = r_Q – r_P

      = (x_Q – x_p) i + (y_Q – y_P) j + (z_Q – z_P) k

Dan besarnya vektor r_PQ = |r_PQ| =

1.1.2        Kecepatan

Kecepatan merupakan besaran vektor yang menyatakan laju perubahan posisi (perpindahan) terhadap waktu. Selama benda bergerak , mungkin saja kecepatanya berubah, baik besar maupun arahnya.

a.      Kecepatan rata-rata

Kita mendefinisikan  rata-rata v_r, seperti pada pembahasan tentang gerak lurus, yaitu sebagai hasil bagi antara perpindahan dan interval waktu:

v_r  =

b.      Kecepatan sesaat

Kecepatan sesaat sebagai laju perubahan posisi sesaat, yaitu limit kecepatan rata-rata ketika interval waktunya mendekati nol.

v =   =

v =

v = v_xi + v_yj + v_zk

c.       menentukan posisi dari fungsi kecepatan

Apabila kecepatan benda pada setiap saat v (t), posisi awal (r₀), dan waktu awal gerakan (t₀) diketahui, maka posisi benda tersebut dapat ditentukan berdasarkan dua cara, yaitu metode integral dan metode grafik.

1.1.3        Percepatan

Percepatan merupakan besaran vector yang menyatakan laju perubahan kecepatan terhadap waktu.Seperti halnya kecepatan,kita mengenal adanya percepatan rata-rata dan percepatan sesaat.

a.      Percepatan rata-rata

Tinjau suatu benda yang bergerak sepanjang lintasan melengkung seperti tampak pada gambar 1.9.

   v₁

                                                   v₂

                      P₂

   P₁                                a_r

Apabila dinyatakan dalam vektor satuan, maka

a_r =  =

a_r  = a_rxi + a_ryj + a_rzk

dengan

a_r   = vektor percepatan rata-rata (m/s²)

a_rx = komponen percepatan rata-rata pada sumbu x (m/s²)

a_ry = komponen percepatan rata-rata pada sumbu y (m/s²)

a_rz = komponen percepatan rata-rata pada sumbu z (m/s²)

b.      Percepatan sesaat

Percepatan sesaat didepinisikan sebagai laju perubahan kecepatan sesaat, yaitu limit kecepatan rata-rata ketika interval waktunya mendekati nol.

a =   =

a =

a = a_xi + a_yj + a_zk

1.2  PERPADUAN GERAK

Jenis gerak dalam bidang datar yang cukup penting dan menarik serta sudah mampu menjawab berbagai persoalan yang sering muncul adalah gerak bidang datar sebagai hasil perpaduan dua gerak lurus beraturan dan perpaduan antara gerak lurus beraturan dengan gerak lurus berubah beraturan.

1.2.1        Perpaduan Dua Gerak Lurus Beraturan

a.      Resultan vektor perpindahan dalam komponen-komponen

 y

                                                           s₂

                                                     ∆₂

                        α                 s₁

                                 θ₁

                                                                           x

   Gambar 1.12 melukiskan dua perpindahan s1 dan s2.

vektor resultan S dapat dinyatakan ke dalam vector s1 dan s2 sebagai berikut:

S=s1 + s2

c.       Perpaduan dua gerak lurus beraturan dan saling tegak lurus

Untuk menghitung  besar vector resultan baik untuk perpindahan s maupun kecepatan v , digunakan rumus pyhtagoras:

S = , dan

V =

s_y                                                                       s                  v_y                                                                       v

        α                                                                           α

                                                  s_x                                                                       v_x

1.2.2        Perpaduan Gerak Lurus Beraturan dengan Gerak Lurus Berubah Beraturan

a.       Gerak dalam bidang horizontal

Perpaduan antara gerak lurus beraturan dengan gerak lurus berubah beraturan akan menghasilkan gerak parabola.

b.      gerak dalam bidang vertikal

Perpaduan gerak lurus beraturan dengan gerak lurus berubah beraturan dalam idang vertical, sepirta halnya dalam bidang horizontal, juga akan menghasilkan gerak parabola.

1.3              PERSAMAAN FUNGSI POSISI SUDUT, KECEPATAN SUDUT, DAN PERCEPATAN SUDUT

1.3.1        POSISI SUDUT

Persamaan fungsi posisi sudut θ terhadap waktu t secara umum dapat dirumuskan sebagai brikut.

θ(t) = a + bt + ct² + … + ztⁿ

dimana a, b, c, . . . z adalah konstanta, dan 1, 2, . . . n adalah nilai eksponen.

Sedangkan perpindahan posisi sudut ∆θ dari waktu t₁ dengan posisi sudut θ₁ ke waktu t₂ dengan posisi sudut θ₂ dapat dirumuskan dengan.

∆θ = θ₂ – θ₁

1.3.2    KECEPATAN SUDUT

kecepatan sudut rata-rata ω_r didefinisikan sebagai laju perubahan posisi sudut ∆ω terhadap interval waktu ∆t

ω_r =

1.3.3        PERCEPATAN SUDUT

percepatan sudut rata-rata α_r didefinisikan sebagai laju perubahan kecepatan sudut terhadap nterval waktu.

α_r =

percepatan sudut sesaat didefinisikan sebagai limit laju perubahan kecepatan sudut ketika interval waktu mendekati nol.

α =  =

1.3.4    KINEMATIKA ROTASI

a.      Gerak rotasi beraturan

gerak rotasi beraturan adalah gerak rotasi pada sumbu tetap yang memiliki kecepatan sudut konstan atau percepatan sudutnya sama dengan nol.

θ_t = θ₀  +

jika kecepatan sudut ω konstan, maka dengan metode integral diperoleh

θ_t = θ₀  + ω

    = θ₀  + ω = θ₀  + ω (t – 0)

 θ_t = θ₀  + ωt

 

b.      Gerak berubah beraturan

ω_t = ω₀  +

jika kecepatan sudut α konstan, maka dengan metode integral diperoleh

ω_t = ω₀  + α

    = ω₀  + α = ω₀  + α (t – 0)

 ω_t = ω₀  + αt